Repaso de Matemáticas

Holy :$ ondi me comprometí a subir el coso de la materia de matemáticas para que les vaya bien en la prueba *-* si encuentran que esta mal o algo por el estilo, fuck you e.e ojala les sirva y se saquen buena nota :3

En la prueba entran:

-       Sistemas de Ecuaciones / Clasificación de Estos

-       Proporcionalidad (Escalas, Proporciones entre magnitudes)

-       Semejanza de Triángulos

-       Teorema de Thales

-       Probabilidades

Sistemas de Ecuaciones:

Según tengo entendido, un sistema de ecuaciones es la coincidencia de dos rectas en un plano, es decir que son dos variables, que comúnmente se conocen como X e Y. En la vida cotidiana, un sistema tiene diversos usos, como saber cuántos productos compré teniendo el valor de estos, y el total del gasto, entre muchas otras.

Resolución de un sistema de Ecuaciones:

“Marco tiene 3 años menos que Juan, si la razón entre la edad de Marco y Juan es 5:6 encuentre la edad de cada uno”.

Pasos a seguir:

Lo primero que debemos hacer es leer el ejercicio y extraer los datos que nos entrega, aquí dice que Marco es tres años menor que Juan, entonces debemos designar con una letra a cada uno.

X = Marco

Y = Juan

X + 3 = Y dice que la edad de marco es 3 años menos que Juan, por lo que la edad de Marco más estos tres años sería la edad de Juan, pero el ejercicio además dice que las edades están en razón 5:6 entonces X/Y = 5/6, para ordenarlo correctamente, debo multiplicar cruzado, quedándome 6X = 5Y

Ahora es momento de ordenar el sistema

Las incógnitas pasan a un lado y los números enteros a otro, considerando que pasan haciendo lo contrario, en el caso de la Y que es positivo pasa a ser negativo, y en el caso del 3 que es negativo pasa a ser positivo, al igual que en el caso de las razones.

X – Y = -3

6X – 5Y = 0

Hecho esto, ahora debo ordenar el sistema, de manera que las X o las Y sean iguales, pero que una sea positiva y la otra negativa, en este caso será con las Y por un tema de facilidad.

Entonces:

X – Y = 3 * -5  ->  -5X + 5Y = 15 -> Reducimos términos, quedándonos:

6X – 5Y =0      ->  6X – 5Y = 0 

-5X =15

6X = 0  -> Sumamos las X con las X y los números con los números, dejándonos:

-5X + 6X = 15 + 0

X = 15 Es decir, la edad de Marco es 15 años, para saber la edad de su hermano, remplazamos la x en el sistema inicial:

X + 3 = Y -> 15 + 3 = Y

18 = Y por lo que Juan tiene 18 años, este es el procedimiento a seguir para todos los sistemas de ecuaciones, sin importar la dificultad.

Clasificación de los Sistemas de Ecuaciones:

Los sistemas de ecuaciones se clasifican según su tipo, que varia dependiendo de la posición en el plano de las rectas que los componen, existen distintos tipos de sistemas, que son: Compatible, Compatible Indeterminado e Incompatible.

Sistema Compatible:

Posición de la Recta en el plano: Secantes (Dos rectas que se intersecan en un punto)

Tipo de Solución: Única (El punto de intersección es la solución)

Cómo descubrir el tipo de sistema:

A1 No son proporcionales a B1 no importa si guardan proporcionalidad con C1

A2                no ~                 B2                                                                       C2

Sistema Compatible Indeterminado:

Posición de la Recta en el plano: Coincidentes (Una sobre la otra)

Tipo de Solución: Infinita (Se encuentran en el mismo punto en todo momento)

Cómo descubrir el tipo de sistema:

A1  Son proporcionales a B1 Son proporcionales a C1

A2                ~                  B2                ~                   C2

Sistema Incompatible:

Posición de la Recta en el plano: Paralelas (Rectas equidistantes que nunca se juntan)

Tipo de Solución: Sin Solución (no hay intersección)

Cómo descubrir el tipo de sistema:

A1  Son proporcionales a B1 No son proporcionales a C1

A2                ~                  B2                No  ~                 C2  

Deben memorizar esto, las preguntas que comúnmente hacen sobre esta materia son:

-       ¿Qué tipo de sistema es? (Ven la proporción entre los datos -> multiplicación cruzada))

-       ¿Qué tipo de Solución tiene? (Memoria)

-       ¿En qué posición están las rectas del sistema? (Memoria)

Proporcionalidad:

No voy a ahondar mucho en esta materia, porque la estamos pasando desde octavo, sólo que cada vez con mayor profundidad (uy :$).

Razón: Relación que se forma entre dos magnitudes (Tiempo – Distancia, etc)

Proporción: Relación que se forma entre dos razones, existen dos tipos

Directa -> Cuando una variable sube la otra sube o viceversa. (Km – Horas, etc)

Inversa -> Cuando una variable sube la otra baja. (Nº Trabajadores – Tiempo de construcción, etc)

Escalas:

Una escala es una proporción que se forma entre dos variables, cómo por ejemplo un plano y un edificio, y es la razón en que se encuentran ambas, ejemplo 1: 50.

Si 3cm de un plano equivalen a 4,5km de la realidad

a) ¿Cuántos cm del plano representan a 7,2km de la realidad?

b) ¿Cuántos km de la realidad corresponden a 4,5 cm del plano?

c) ¿En qué escala se encuentra el plano en razón de la realidad?

a) 3cm = 4,5km

    Xcm = 7,2km

Aquí solo debemos multiplicar cruzado y dividir, es decir:

3 * 7,2 /4,5

 21,6 / 4.5 = 4,8

Entonces 4,8cm del plano representan 7,2 cm de la realidad.

b) 3cm     = 4,5km

    4,5cm  = Xkm

Es lo mismo, pero ahora la incógnita se encuentra en el lado de los km.

4,5*4,5/3

20,25/3 = 6,75

Por lo que 6,75km de la realidad corresponden a 4,5cm del plano.

c) 3cm = 4,5km

    1cm = x km

El método para resolver esto es cambiar ambos a la misma medida, utilizando la equivalencia [1km = 100000 cm]

4,5 * 100000 = 450000 cm

En la proporción sería:

3 = 450000

1 = 150000

Por lo que la escala sería 1 : 150000

Nota: Con las escalas lo único que hay que tener en consideración son las unidades de medidas, porque si las confunden el ejercicio va a estar malo.

Semejanza de Triángulos

Semejanza: Relación que se establece entre dos figuras que tienen todos sus ángulos congruentes (iguales) y todos sus lados proporcionales.

En el caso de los triángulos existen 3 teoremas que permiten saber si 2 triángulos son semejantes entre sí:

-AA (ángulo – ángulo): Cuando dos de los ángulos de ambos triángulos son iguales, estos son semejantes.

- LAL (lado – ángulo – lado): Cuando dos lados de los triángulos son proporcionales y uno de los ángulos de ambos triángulos es igual, los triángulos son semejantes.

- LLL (lado – lado – lado): Cuando todos los lados de ambos triángulos son proporcionales, los triángulos son semejantes.

Constante de proporcionalidad: Es la razón que se encuentra entre ambos triángulos, se determina con la división de los lados.

A/A’= K

B/B’= K

C/C’= K

Si K no coincide en todos los casos, los triángulos no son proporcionales.

Teorema de Thales: Si tres o más paralelas son interceptadas por 2 transversales, los segmentos correspondientes de las transversales son proporcionales.

          A/B = B/D

          D/B = C/A
          A/B = C/D

L1

L2

L3

L1//L2//L3

Caso Particular: Cuando se forman dos triángulos, estos son semejantes, es decir los lados respectivos son proporcionales.

 

 A / E = B / F = C / G

Probabilidades:

Una probabilidad es la expresión matemática de las distintas posibilidades de un suceso, siempre es expresada mediante un número entre 0 y 1, siendo 0 la imposibilidad total de ese suceso y uno que sucederá si o si, también se puede expresar como una fracción, porcentaje, o un decimal.

Espacio muestral: Un espacio muestral, es dónde se muestran todas las distintas posibilidades de los distintos sucesos en determinado caso.

Ej: Al lanzar dos dados.

  

Diagrama de Árbol: Un mostrario en dónde se observan diversas posibilidades de un suceso.

Ej: Al lanzar 3 monedas

CCC

CCS

CSC

CSS

SCC

SCS

SSC

SSS

3/8 -> La probabilidad de obtener dos caras.

¿Cómo expresar una probabilidad?

Una probabilidad se expresa indicando los casos favorables partidos en los casos posibles.

 Ejemplo: Si lanzo 3 monedas la probabilidad de obtener 2 caras es:

1. Hago el espacio muestral o el diagrama de árbol

2. Indico los casos favorables.

3. Calculo  los casos posibles

4. Lo expreso como fracción

5. Simplifico en caso de ser posible.

Recomendaciones: Les recomiendo que se pongan a hacer las guías que ha entregado la Profesora Ana Maria Barriga, porque eso les va a dar el training para la prueba, y que vean en que se equivocaron en las pruebas pasadas para que no les vuelva a pasar, onda espero que le pongan ya saen :$ y que les sirva la guía *-*

Mínimo que alguien me compre un panchito :3 o un cigarrito suelto *-*

Adios e.e

 

 

Geometría : " Ángulos en la Circunferencia "

Hooooolyyy de nuevo :$.

Bueno pongo la Materia asociada a " Ángulos en la circunferencia ". Para que puedan sacar una buena nota en la Prueba de Nivel , y así también tengan una buena nota en el control del Miércoles.

Primero algunos conceptos básicos que deben entenderlos , sin ellos no podrán resolver lo de Ángulos en la Circunferencia.

a) Circunferencia : Es una línea curva cerrada y cada punto debe equidistar ( tener la misma medida ) con un punto llamado centro.



b) Radio : Es un segmento que une el centro con un punto de la Circunferencia. Siempre son iguales , y son infinitos en una circunferencia.



** si se utilizan dos radios en una circunferencia , para contruir un triángulo , se formará un triángulo Isósceles.

c) Diámetro : Es un segmento que une dos puntos de la Circunferencia pasando por el centro.



d) Arco de Circunferencia : Es una parte de la Circunferencia.



e) Cuerda : Es un segmento que une dos puntos de la Circunferencia.



f) Secante de circunferencia : Línea recta que pasa por dos puntos de la Circunferencia.
En la Imágen la Secante es la que pasa por la Circunferencia.



g) Tangente de Circunferencia : Línea Recta que intersecta a la Circunferencia en un sólo punto.

** El Ángulo que se forma po una Tangente y un Radio siempre será de 90º.



Con estos Conceptos Claros , podemos entender los ángulos en la Circunferencia.

Ángulos en la Circunferencia

a) Ángulo del Centro : Es el que esta formado por dos Radios.

La medida del Ángulo del centro (α) es equivalente a la medida del Arco correspondiente.

α = Arco AB

b) Ángulo Inscrito : Ángulo formado por dos Cuerdas, donde el Vértice se ubica sobre la Circunferencia.

La medida de un ángulo inscrito es la mitad del arco, también podemos decir que es la mitad del ángulo del centro correspondiente.

α = __Arco AB__

2

c) Ángulo Interno : Es aquel que se forma por la Intersección de dos Cuerdas.

La medida del Ángulo α es la Suma del Arco que contiene el ángulo a Calcular , y el arco el cual contiene el angulo opuesto al anterior , y todo eso dividido en dos.

α = __Arco AB + Arco CD__

2

d) Ángulo Externo : Formado por dos Secantes que se intersectan en un punto fuera de la circunferencia.

Medida del Ángulo α , es el arco mayor ( Arco AB ) - el Arco CD , partido dos.

α = __Arco AB - Arco CD__

2

e) Ángulo Semi-Inscrito : Formado por una Cuerda y una Tangente.

La medida del Ángulo α , el arco opuesto ( Arco BA ) , dividido dos.

α = __Arco BA__

2

Bueno eso es todo de Circunferencia. Cualquier duda a mi msn o en el Colegio. ;)

Unidad 3 : " Ecuaciones en la Recta "

Bueno , primero que todo un gran Hoooly :$ , y espero que esten bien :D.

Bueno ire con la materia :Z , correspondiente a la Unidad 3 : " Ecuaciones en la Recta ".

Función : Una función es una relación matemática entre dos conjuntos, tal que a cada elemento del primer conjunto le corresponde un único elemento del segundo conjunto.

PD : La función puede ser asignada por la Profesora.

Ej : Escribir con símbolos la función : " a cada número asignar el doble "

Conjunto 1 ------> Conjunto 2

x ------> 2*x = 2x

5 ------> 2*5 = 10

-8 ------> -8*2 = -16

PD : En este ejemplo : F(x) = 2x ---> Ya que en el conjunto 1 esta el elemento "X" , el cual al sacar su función sera el Doble según la orden dada. Lo mismo sucede con el Número 5 y el -8.

Tipos de Funciones

1.- Función Lineal : Son Funciones lineales las que tienen la siguiente estructura :

" F(x) = mx " ----> También se puede escribir : " y=mx "

** Para la gráfica de una función lineal corresponde a una recta que pasa por el origen de los Ejes. ( Esta gráfica está asociada al concepto de Proporcionalidad Directa. )

En esta Función "X" representa la Variable Independiente. Mientras que la Letra "Y" la variable Dependiente.

2.- Función Afin : Tiene la Siguiente Estructura :

F(x)=mx+n " -----> También se puede escribir : " y= mx + n

Ejemplos de Función Afin :

y = 7x - 1
y = 4x + 2

** Gráfica de una función Afin : Es una recta que no parte del Origen ( No parte del Punto 0 )

Ecuación de la Recta

En Geometría Analítica a la fórmula " y = mx + n " ( Función Afin ) se le llama Ecuación de la Recta. En una Ecuación de la Recta distinguimos 4 Elementos :

• X = Variable Independiente.
• Y = Variable Dependiente.
• m = pendiente.
• n = Coeficiente de Posición .

Ejemplo :

" y = 3x - 1 "
La Pendiente ( m ) es 3
El Coeficiente de Posición ( n) es - 1

Estudio de la Pendiente

La pendiente en una Ecuación de recta determina el Grado de Inclinación que tiene la Recta respecto del Eje X ( Ángulo que se forma entre el Eje X y la recta )

** A medida que la pendiente Aumenta , el Ángulo que se forma también aumenta.

Tipos de Inclinación :

a) Si la Pendiente es Positiva ( es decir , mayor que cero ) el ángulo que se forma con la recta y el Eje X es mayor que 0 y menor que 90º

b)Si la Pendiente es Negativa ( es decir menor que 0 ) el ángulo que se forma será mayor a 90º y menor que 180º

c) Si la Pendiente es nula ( es igual a 0 ) , la recta queda paralela al Eje X.

Estudio del Coeficiente de Posición ( n )

El Coeficiente de Posición de una Ecuación de recta indica el Punto de intersección de la Recta con el Eje Y.

Ecuación de la Recta , apartir de dos puntos del Plano.

Cuando se tienen dos Puntos Cualesquiera de una Recta (x1 , y1 ) y ( x2 , y2 )

• La pendiente queda determinada por el Cuociente entre la Diferencia de las Ordenadas.
• Y la diferencia de las Absisas de los mismos Puntos.

En Resumen quedaría la siguiente Fórmula :

m = __y2 – y1__
x2 – x1

Como encontrar una Ecuación de Recta

Para encontrar una Ecuación de Recta que pasa por dos puntos procederemos de la siguiente forma :

Hay que encontrar esta estructura : " y = mx + n "

• Se Calcula la Pendiente de la Ecuacion de Recta.
• El Valor encontrado se reemplaza en la Ecuación
• Las Cordenadas de Cualquiera de los dos puntos se reemplazan en la Ecuacion de Recta y se Despeja " n "
• Se escribe la Ecuación.

Ejemplo :

Encontrar la Ecuación de Recta que pasa por los puntos ( 3,1 ) y ( 2,4)

1. Calcular la Pendiente :

m = __4 - 1__
2 - 3

m = __3__ = -3

-1

2. Se reemplaza " m " -----> y = -3X + n

3. Se reemplaza en la Ecuación las coordenadas de uno de los 2 Puntos, y se despeja " n "

En este caso usaremos la coordenada (3,1) y quedaría :

1 = -3*3 + n

1 = -9 + n

1 + 9 = n

10 = n

4. Se Arma la Ecuación :

" y = -3x + 10 "

Esto es Todo por Ahora :D

Luego Edito más. y Pondre Circunferencia para el Repaso del Miércoles.